6.5 冲激函数
在某些应用 中，有必要处理冲激性质 的现象 ——例如，在大约很短的时间间隔 内作用的巨大电压 或力 。此类问题 通常导致以下形式的微分方程 ：
a y ′ ′ + b y ′ + c y = g ( t ) \begin{equation*}
a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=g(t) \tag{1}
\end{equation*}
a y ′′ + b y ′ + cy = g ( t ) ( 1 )
其中 g ( t ) g(t) g ( t ) 时间间隔 t 0 − τ < t < t 0 + τ t_{0}-\tau<t<t_{0}+\tau t 0 − τ < t < t 0 + τ τ > 0 \tau>0 τ > 0
积分 I ( τ ) I(\tau) I ( τ )
I ( τ ) = ∫ t 0 − τ t 0 + τ g ( t ) d t \begin{equation*}
I(\tau)=\int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} g(t) d t \tag{2}
\end{equation*}
I ( τ ) = ∫ t 0 − τ t 0 + τ g ( t ) d t ( 2 )
或者，由于 g ( t ) g(t) g ( t ) 区间 ( t 0 − τ , t 0 + τ ) \left(t_{0}-\tau, t_{0}+\tau\right) ( t 0 − τ , t 0 + τ )
I ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( t ) d t \begin{equation*}
I(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) d t \tag{3}
\end{equation*}
I ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( t ) d t ( 3 )
是对强迫函数强度 的度量 。在机械系统 中，其中 g ( t ) g(t) g ( t ) 力 ，I ( τ ) I(\tau) I ( τ ) 力 g ( t ) g(t) g ( t ) 时间间隔 （t 0 − τ , t 0 + τ t_{0}-\tau, t_{0}+\tau t 0 − τ , t 0 + τ 冲量 。类似地，如果 y y y 电路 中的电流 ，而 g ( t ) g(t) g ( t ) 电压 的时间导数 ，则 I ( τ ) I(\tau) I ( τ ) 区间 ( t 0 − τ , t 0 + τ ) \left(t_{0}-\tau, t_{0}+\tau\right) ( t 0 − τ , t 0 + τ ) 电路 的总电压 。
特别地，让我们假设 t 0 t_{0} t 0 g ( t ) g(t) g ( t )
g ( t ) = d τ ( t ) = { 1 2 τ , − τ < t < τ 0 , t ≤ − τ 或 t ≥ τ (4) g(t)=d_{\tau}(t)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \tau}, \quad-\tau<t<\tau \tag{4}\\
0, \quad t \leq-\tau \text { 或 } t \geq \tau
\end{array}\right.
g ( t ) = d τ ( t ) = { 2 τ 1 , − τ < t < τ 0 , t ≤ − τ 或 t ≥ τ ( 4 )
其中 τ \tau τ 正常数 （参见图 6.5.1）。根据方程 (2) 或 (3)，可以立即得出，在这种情况下，I ( τ ) = 1 I(\tau)=1 I ( τ ) = 1 τ \tau τ 值 无关，只要 τ ≠ 0 \tau \neq 0 τ = 0 时间间隔 内起作用来理想化强迫函数 d τ d_{\tau} d τ 函数 d τ ( t ) d_{\tau}(t) d τ ( t ) τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 + 极限运算 的结果 ，我们得到
lim τ → 0 + d τ ( t ) = 0 , t ≠ 0 \begin{equation*}
\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} d_{\tau}(t)=0, \quad t \neq 0 \tag{5}
\end{equation*}
τ → 0 + lim d τ ( t ) = 0 , t = 0 ( 5 )
图 6.5.1 y = d τ ( t ) y=d_{\tau}(t) y = d τ ( t )
图 6.5.2 y = d τ ( t ) y=d_{\tau}(t) y = d τ ( t ) τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 +
此外，由于对于每个 τ ≠ 0 \tau \neq 0 τ = 0 I ( τ ) = 1 I(\tau)=1 I ( τ ) = 1
lim τ → 0 + I ( τ ) = 1 \begin{equation*}
\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} I(\tau)=1 \tag{6}
\end{equation*}
τ → 0 + lim I ( τ ) = 1 ( 6 )
方程 (5) 和 (6) 用于定义理想化的单位冲激函数 δ \delta δ t = 0 t=0 t = 0 大小 为 1 的冲量 ，但对于除零以外的所有 t t t 值 ，其值 为零。也就是说，“函数 ”δ \delta δ 性质 ：
δ ( t ) = 0 , t ≠ 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 \begin{gather*}
\delta(t)=0, \quad t \neq 0 \tag{7}\\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1 \tag{8}
\end{gather*}
δ ( t ) = 0 , t = 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 ( 7 ) ( 8 )
在初等微积分 中研究的那种普通函数 ，没有一个能同时满足方程 (7) 和 (8)。 由这些方程 定义的“函数 ”δ \delta δ 广义函数 的一个例子 ； 它通常被称为狄拉克 （Dirac）4 { }^{4} 4 delta 函数 。 由于 δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) t = 0 t=0 t = 0 单位冲量 ，因此任意点 t = t 0 t=t_{0} t = t 0 单位冲量 由 δ ( t − t 0 ) \delta\left(t-t_{0}\right) δ ( t − t 0 ) 方程 (7) 和 (8) 得出
δ ( t − t 0 ) = 0 , t ≠ t 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) d t = 1 \begin{gather*}
\delta\left(t-t_{0}\right)=0, \quad t \neq t_{0} \tag{9}\\
\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=1 \tag{10}
\end{gather*}
δ ( t − t 0 ) = 0 , t = t 0 ∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) d t = 1 ( 9 ) ( 10 )
狄拉克delta函数 不满足定理 6.1.2的条件 ，但它的拉普拉斯变换 仍然可以形式化地定义。由于 δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 + d τ ( t ) d_{\tau}(t) d τ ( t ) 极限 ，因此很自然地将 δ \delta δ 拉普拉斯变换 定义为 d τ d_{\tau} d τ 变换 的类似极限 。 特别是，我们将假设 t 0 > 0 t_{0}>0 t 0 > 0 L { δ ( t − t 0 ) } \mathcal{L}\left\{\delta\left(t-t_{0}\right)\right\} L { δ ( t − t 0 ) } 方程
L { δ ( t − t 0 ) } = lim τ → 0 + L { d τ ( t − t 0 ) } \begin{equation*}
\mathcal{L}\left\{\delta\left(t-t_{0}\right)\right\}=\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} \mathcal{L}\left\{d_{\tau}\left(t-t_{0}\right)\right\} \tag{11}
\end{equation*}
L { δ ( t − t 0 ) } = τ → 0 + lim L { d τ ( t − t 0 ) } ( 11 )
为了评估方程 (11) 中的极限 ，我们首先观察到，如果 τ < t 0 \tau<t_{0} τ < t 0 τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 + t 0 − τ > 0 t_{0}-\tau>0 t 0 − τ > 0 d τ ( t − t 0 ) d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) d τ ( t − t 0 ) t 0 − τ t_{0}-\tau t 0 − τ t 0 + τ t_{0}+\tau t 0 + τ 区间 内非零，因此我们有
L { d τ ( t − t 0 ) } = ∫ 0 ∞ e − s t d τ ( t − t 0 ) d t = ∫ t 0 − τ t 0 + τ e − s t d τ ( t − t 0 ) d t \begin{aligned}
\mathcal{L}\left\{d_{\tau}\left(t-t_{0}\right)\right\} & =\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) d t \\
& =\int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} e^{-s t} d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) d t
\end{aligned}
L { d τ ( t − t 0 ) } = ∫ 0 ∞ e − s t d τ ( t − t 0 ) d t = ∫ t 0 − τ t 0 + τ e − s t d τ ( t − t 0 ) d t
从方程 (4) 代入 d τ ( t − t 0 ) d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) d τ ( t − t 0 )
L { d τ ( t − t 0 ) } = 1 2 τ ∫ t 0 − τ t 0 + τ e − s t d t = − 1 2 s τ e − s t ∣ t = t 0 − τ t = t 0 + τ = 1 2 s τ e − s t 0 ( e s τ − e − s τ ) \begin{aligned}
\mathcal{L}\left\{d_{\tau}\left(t-t_{0}\right)\right\} & =\frac{1}{2 \tau} \int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} e^{-s t} d t=-\left.\frac{1}{2 s \tau} e^{-s t}\right|_{t=t_{0}-\tau} ^{t=t_{0}+\tau} \\
& =\frac{1}{2 s \tau} e^{-s t_{0}}\left(e^{s \tau}-e^{-s \tau}\right)
\end{aligned}
L { d τ ( t − t 0 ) } = 2 τ 1 ∫ t 0 − τ t 0 + τ e − s t d t = − 2 s τ 1 e − s t t = t 0 − τ t = t 0 + τ = 2 s τ 1 e − s t 0 ( e s τ − e − s τ )
或
L { d τ ( t − t 0 ) } = sinh ( s τ ) s τ e − s t 0 \begin{equation*}
\mathcal{L}\left\{d_{\tau}\left(t-t_{0}\right)\right\}=\frac{\sinh (s \tau)}{s \tau} e^{-s t_{0}} \tag{12}
\end{equation*}
L { d τ ( t − t 0 ) } = s τ sinh ( s τ ) e − s t 0 ( 12 )
当 τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 + 商 sinh ( s τ ) / ( s τ ) \sinh (s \tau) /(s \tau) sinh ( s τ ) / ( s τ ) 洛必达法则 5 { }^{5} 5 极限 。我们得到
lim τ → 0 + sinh ( s τ ) s τ = lim τ → 0 + s cosh ( s τ ) s = 1 \lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} \frac{\sinh (s \tau)}{s \tau}=\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} \frac{s \cosh (s \tau)}{s}=1
τ → 0 + lim s τ sinh ( s τ ) = τ → 0 + lim s s cosh ( s τ ) = 1
4 { }^{4} 4 保罗·A·M·狄拉克 （Paul A. M. Dirac，1902-1984），英国数学物理学家 ，1926年获得剑桥大学博士学位 ，并于1969年之前在那里担任数学教授 。他因在量子力学 方面的基础性工作 于1933年获得诺贝尔物理学奖 （与埃尔温·薛定谔 共同获得）。他最著名的成果 是1928年发表的电子相对论方程 。他由此方程 预测了“反电子 ”或正电子 的存在 ，该粒子 于1932年首次被观测到。从剑桥 退休后，狄拉克 移居美国 ，并在佛罗里达州立大学 担任研究教授 。
5 { }^{5} 5 吉约姆·德·洛必达侯爵 （Marquis Guillaume de l'Hôpital，1661-1704）是一位对数学 有浓厚兴趣 的法国贵族 。他曾聘请约翰·伯努利 担任其微积分 的私人导师 。洛必达 于1696年出版了第一本关于微分学 的教科书 ；其中出现了以他的名字 命名的极限性质 。
然后从公式 (11) 可以得出
L { δ ( t − t 0 ) } = e − s t 0 \begin{equation*}
\mathcal{L}\left\{\delta\left(t-t_{0}\right)\right\}=e^{-s t_{0}} \tag{13}
\end{equation*}
L { δ ( t − t 0 ) } = e − s t 0 ( 13 )
公式 (13) 定义了 L { δ ( t − t 0 ) } \mathcal{L}\left\{\delta\left(t-t_{0}\right)\right\} L { δ ( t − t 0 ) } t 0 > 0 t_{0}>0 t 0 > 0 值 。 通过让公式 (13) 的右侧 t 0 → 0 + t_{0} \rightarrow 0^{+} t 0 → 0 + 结果 扩展到允许 t 0 t_{0} t 0
L { δ ( t ) } = lim t 0 → 0 + e − s t 0 = 1 \begin{equation*}
\mathcal{L}\{\delta(t)\}=\lim _{t_{0} \rightarrow 0^{+}} e^{-s t_{0}}=1 \tag{14}
\end{equation*}
L { δ ( t )} = t 0 → 0 + lim e − s t 0 = 1 ( 14 )
令人欣慰的是，公式 (13) 和 (14) 中导出的拉普拉斯变换公式 与水平平移函数 的拉普拉斯变换 一致：
L { δ ( t − t 0 ) } = e − s t 0 L { δ ( t ) } = e − s t 0 . \mathcal{L}\left\{\delta\left(t-t_{0}\right)\right\}=e^{-s t_{0}} \mathcal{L}\{\delta(t)\}=e^{-s t_{0}} .
L { δ ( t − t 0 ) } = e − s t 0 L { δ ( t )} = e − s t 0 .
以类似的方式，可以定义狄拉克函数 与任何连续函数 f f f 乘积 的积分 。 我们有
∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = lim τ → 0 + ∫ − ∞ ∞ d τ ( t − t 0 ) f ( t ) d t \begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{\infty} d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) f(t) d t \tag{15}
\end{equation*}
∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = τ → 0 + lim ∫ − ∞ ∞ d τ ( t − t 0 ) f ( t ) d t ( 15 )
使用 d τ ( t ) d_{\tau}(t) d τ ( t ) 定义 (4) 和积分中值定理 ，我们发现
∫ − ∞ ∞ d τ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = 1 2 τ ∫ t 0 − τ t 0 + τ f ( t ) d t = 1 2 τ ⋅ 2 τ ⋅ f ( t ∗ ) = f ( t ∗ ) \begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} d_{\tau}\left(t-t_{0}\right) f(t) d t & =\frac{1}{2 \tau} \int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau} f(t) d t \\
& =\frac{1}{2 \tau} \cdot 2 \tau \cdot f\left(t^{*}\right)=f\left(t^{*}\right)
\end{aligned}
∫ − ∞ ∞ d τ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = 2 τ 1 ∫ t 0 − τ t 0 + τ f ( t ) d t = 2 τ 1 ⋅ 2 τ ⋅ f ( t ∗ ) = f ( t ∗ )
其中 t 0 − τ < t ∗ < t 0 + τ t_{0}-\tau<t^{*}<t_{0}+\tau t 0 − τ < t ∗ < t 0 + τ τ → 0 + \tau \rightarrow 0^{+} τ → 0 + t ∗ → t 0 t^{*} \rightarrow t_{0} t ∗ → t 0 公式 (15) 可以得出
∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) \begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right) \tag{16}
\end{equation*}
∫ − ∞ ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) ( 16 )
以下示例 说明了狄拉克函数 在求解具有脉冲强迫函数 的初值问题 中的应用 。
示例 1找到初值问题 的解
2 y ′ ′ + y ′ + 2 y = δ ( t − 5 ) y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 0 \begin{gather*}
2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=\delta(t-5) \tag{17}\\
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \tag{18}
\end{gather*}
2 y ′′ + y ′ + 2 y = δ ( t − 5 ) y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 0 ( 17 ) ( 18 )
解 ：这个初值问题 来自与第 6.4 节 的示例 1 中相同的电路 或机械振荡器 的研究 。唯一的区别 在于强迫项 。
为了解决给定的问题 ，我们首先对微分方程 进行拉普拉斯变换 ，并使用初始条件 ，得到
( 2 s 2 + s + 2 ) Y ( s ) = e − 5 s \left(2 s^{2}+s+2\right) Y(s)=e^{-5 s}
( 2 s 2 + s + 2 ) Y ( s ) = e − 5 s
因此
Y ( s ) = e − 5 s 2 s 2 + s + 2 = e − 5 s 2 1 ( s + 1 4 ) 2 + 15 16 \begin{equation*}
Y(s)=\frac{e^{-5 s}}{2 s^{2}+s+2}=\frac{e^{-5 s}}{2} \frac{1}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}} \tag{19}
\end{equation*}
Y ( s ) = 2 s 2 + s + 2 e − 5 s = 2 e − 5 s ( s + 4 1 ) 2 + 16 15 1 ( 19 )
通过定理 6.3.2，或从表 6.2.1 的第 9 行 ，
L − 1 { 1 ( s + 1 4 ) 2 + 15 16 } = 4 15 e − t / 4 sin ( 15 4 t ) \begin{equation*}
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{16}}\right\}=\frac{4}{\sqrt{15}} e^{-t / 4} \sin \left(\frac{\sqrt{15}}{4} t\right) \tag{20}
\end{equation*}
L − 1 { ( s + 4 1 ) 2 + 16 15 1 } = 15 4 e − t /4 sin ( 4 15 t ) ( 20 )
y ( t ) = L − 1 { Y ( s ) } = 2 15 u 5 ( t ) e − ( t − 5 ) / 4 sin ( 15 4 ( t − 5 ) ) \begin{equation*}
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{2}{\sqrt{15}} u_{5}(t) e^{-(t-5) / 4} \sin \left(\frac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\right) \tag{21}
\end{equation*}
y ( t ) = L − 1 { Y ( s )} = 15 2 u 5 ( t ) e − ( t − 5 ) /4 sin ( 4 15 ( t − 5 ) ) ( 21 )
这是给定问题 的形式解 。也可以将 y ( t ) y(t) y ( t ) 形式
y = { 0 , t < 5 2 15 e − ( t − 5 ) / 4 sin ( 15 4 ( t − 5 ) ) , t ≥ 5 (22) y= \begin{cases}0, & t<5 \tag{22}\\ \frac{2}{\sqrt{15}} e^{-(t-5) / 4} \sin \left(\frac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\right), & t \geq 5\end{cases}
y = { 0 , 15 2 e − ( t − 5 ) /4 sin ( 4 15 ( t − 5 ) ) , t < 5 t ≥ 5 ( 22 )
”
“
方程 (22) 的图像 如图 6.5.3 所示。由于 t = 0 t=0 t = 0 初始条件 是齐次的，且在 t = 5 t=5 t = 5 外部激励 ，因此在 0 < t < 5 0<t<5 0 < t < 5 区间 内没有响应 。t = 5 t=5 t = 5 冲激 产生一个持续无限期的衰减振荡 。尽管在这一点 上的强迫函数 有奇点 ，但响应 在 t = 5 t=5 t = 5 解 的一阶导数 在 t = 5 t=5 t = 5 跳跃不连续点 ，而二阶导数 在该处有一个无穷不连续点 。这是微分方程 (17) 要求的，因为方程 一侧的奇点 必须由另一侧相应的奇点 平衡。
图 6.5.3 初始值问题 (17), (18) 的解 ：2 y ′ ′ + y ′ + 2 y = δ ( t − 5 ) , y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 0 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=\delta(t-5), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 2 y ′′ + y ′ + 2 y = δ ( t − 5 ) , y ( 0 ) = 0 , y ′ ( 0 ) = 0
在处理涉及冲激强迫 的问题 时，使用 delta 函数 通常会简化数学计算 ，而且通常会显著简化。但是，如果实际激励 在短时间但非零的时间间隔 内延伸，那么将激励 建模为瞬时发生将引入误差 。此误差 可能可以忽略不计，但在实际问题 中不应在不考虑的情况 下将其忽略。在问题 12 中，要求你研究简单谐振子 的这个问题 。
